决策树是一种特殊的树形结构，一般由节点和有向边组成。其中，节点表示特征、属性或者一个类，而有向边包含判断条件。决策树从根节点开始延伸，经过不同的判断条件后，到达不同的子节点。而上层子节点又可以作为父节点被进一步划分为下层子节点。一般情况下，我们从根节点输入数据，经过多次判断后，这些数据就会被分为不同的类别。这就构成了一颗简单的分类决策树。
举一个通俗的例子，假设在B站工作多年仍然单身的小B和他母亲在给他介绍对象时的一段对话：
母亲：小B，你都 28 了还是单身，明天亲戚家要来个姑娘要不要去见见。
小B：多大年纪？
母亲：26。
小B：有多高？
母亲：165厘米。
小B：长的好看不。
母亲：还行，比较朴素。
小B：温柔不？
母亲：看起来挺温柔的，很有礼貌。
小B：好，去见见。
作为程序员的小B的思考逻辑就是典型的决策树分类逻辑，将年龄，身高，长相，是否温柔作为特征，并最后对见或者不见进行决策。其决策逻辑如图所示：
决策树算法实现
其实决策树算法如同上面场景一样，其思想非常容易理解，具体的算法流程为：
第 1 步: 数据准备：通过数据清洗和数据处理，将数据整理为没有缺省值的向量。
第 2 步: 寻找最佳特征：遍历每个特征的每一种划分方式，找到最好的划分特征。
第 3 步: 生成分支：划分成两个或多个节点。
第 4 步: 生成决策树：对分裂后的节点分别继续执行2-3步，直到每个节点只有一种类别。
第 5 步: 决策分类：根据训练决策树模型，将预测数据进行分类。
数据生成
下面我们依照决策树的算法流程，用 python 来实现决策树构建和分类。首先生成一组数据，数据包含两个类别 man 和 woman,特征分别为:
hair:头发长短(long:长,short:短)voice:声音粗细(thick:粗,thin:细)height:身高ear_stud:是否带有耳钉(yes:是,no:没有)
1 | """生成示例数据 |
在创建好数据之后，加载并打印出这些数据
1 | data = create_data() |
划分选择
在得到数据后，根据算法流程，接下来需要寻找最优的划分特征，随着划分的不断进行，我们尽可能的将划分的分支所包含的样本归于同一类别，即结点的“纯度”越来越高。而常用的特征划分方式为信息增益和增益率。
信息增益（ID3）
在介绍信息增益之前，先引入“信息熵”的概念。“信息熵”是度量样本纯度最常用的一种指标，其公式为：
$$
Ent(D)=-\sum_{k=1}^{\left |y \right |}p_{k}\; log_{2}p_{k} \tag{1}
$$
其中 `D` 表示样本集合，`p_{k}` 表示第 `k` 类样本所占的比例。其中 `Ent(D)` 的值越小，则 `D` 的纯度越高。根据以上数据，在计算数据集的“信息熵”时，\(\left | y \right |\) 显然只有 man,woman 共 2 种，其中为 man 的概率为 \(\frac{8}{17}\), woman 的概率为 \(\frac{9}{17}\),则根据公式(1)得到数据集的纯度为：
$$
Ent(data)=-\sum_{k=1}^{2}p_{k}\;log_{2}p_{k}=-(\frac{8}{17}log_{2}\frac{8}{17}+\frac{9}{17}log_{2}\frac{9}{17})=0.9975
$$
1 | """计算信息熵 |
通过计算信息熵函数，计算根节点的信息熵：
1 | base_ent = get_Ent(data) |
0.9975025463691153
信息增益 就是建立在信息熵的基础上，在离散特征 `x` 有 `M` 个取值，如果用 `x` 对样本 `D` 来进行划分，就会产生 `M` 个分支，其中第 `m` 个分支包含了集合 `D` 的所有在特征 `x` 上取值为 `m` 的样本，记为 `D^{m}`（例如：根据以上生成数据，如果我们用 hair 进行划分，则会产生long，short两个分支，每一个分支中分别包含了整个集合中属于 long 或者 short 的数据）。
考虑到不同分支节点包含样本数不同，给分支赋予权重 \(\frac{\left | D^{m}\right |}{\left | D \right |}\) ,使得样本越多的分支节点影响越大，则 信息增益 的公式就可以得到：
$$
Gain(D,x)=Ent(D)- \sum_{m=1}^{M}\frac{\left | D^{m}\right |}{\left | D \right |}Ent(D^{m}) \tag{2}
$$
一般情况下，信息增益越大，则说明用 `x` 来划分样本集合 `D` 的纯度越高。以 hair 为例，其中它有 short 和 long 两个可能取值，则分别用 `D^{1}` (hair = long) 和 `D^{2} (hair = short)来表示。
其中为 \(D^{1}\) 的数据编号为 \(\{0，4，6，8，9，10，12，14，15\}\) 共 9 个，在这之中为 man 的有 {0，4，6} 共3 个占比为\(\frac{3}{9}\)，为 woman 的有{8, 9，10，12，14，15}共 6 个占比为\(\frac{6}{9}\); 同样 `D^{2}` 编号为{1，2，3，5，7，11，13, 16}共 8 个，其中为 man 的有{1，2，3，5，7}共 5 个占比\(\frac{5}{8}\),为 woman 的有{11，13, 16}共 3 个占比 \(\frac{3}{8}\),若按照 hair 进行划分，则两个分支点的信息熵为：
$$
Ent(D^{1})=-(\frac{3}{9}\;log_{2}\frac{3}{9}+\frac{6}{9}\;log_{2}\frac{6}{9})=0.449
$$
$$
Ent(D^{2})=-(\frac{5}{8}\;log_{2}\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\;log_{2}\frac{3}{8})=0.486
$$
根据信息增益的公式可以计算出 hair 的信息增益为：
$$
Gain(D,hair)=Ent(D)-\sum_{m=1}^{2}\frac{\left | D^{m} \right |}{\left | D \right |}Ent(D^{m})=0.9975-(\frac{9}{17}*0.449+\frac{8}{17}*0.486)=0.062
$$
下面我们用 python 来实现信息增益（ID3）算法：
1 | """计算信息增益 |
完成 信息增益 函数后，尝试计算特征 hair 的信息增益值。
1 | get_gain(data,base_ent,'hair') |
0.062200515199107964
信息增益率（C4.5）
信息增益也存在许多不足之处，经过大量的实验发现，当信息增益作为标准时，易偏向于取值较多的特征，为了避免这种偏好给预测结果带来的不好影响，可以使用增益率来选择最优划分。增益率的公式定义为:
$$
GainRatio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)} \tag{3}
$$
其中：
$$
IV(a)=-\sum_{m=1}^{M}\frac{\left | D^{m} \right |}{\left | D \right |}\; log_{2}\frac{\left | D^{m} \right |}{\left | D \right |} \tag{4}
$$
`IV(a)` 称为特征 `a` 的固有值，当 `a` 的取值数目越多，则 `IV(a)` 的值通常会比较大。例如：
$$
IV(hair)= -\frac{9}{17}\; log_{2}\frac{9}{17}-\frac{8}{17}\; log_{2}\frac{8}{17}=0.998
$$
$$
IV(voice)= -\frac{7}{17}\; log_{2}\frac{7}{17} -\frac{5}{17}\; log_{2}\frac{5}{17} - \frac{5}{17}\; log_{2}\frac{5}{17} = 1.566
$$
连续值处理
在前面介绍的特征选择中，都是对离散型数据进行处理，但在实际的生活中数据常常会出现连续值的情况，如生成数据中的身高，当数据较少时，可以将每一个值作为一个类别，但当数据量大时，这样是不可取的，在 C4.5 算法中采用二分法对连续值进行处理。
对于连续的属性 `X` 假设共出现了 n 个不同的取值，将这些取值从小到大排序\(\{x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n} \} \)，其中找一点作为划分点 t ，则将数据划分为两类，大于 t 的为一类，小于 t 的为另一类。而 t 的取值通常为相邻两点的平均数 \(t=\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\)。
则在 n 个连续值之中，可以作为划分点的 t 有 n-1 个。通过遍历可以像离散型一样来考察这些划分点。
$$
Gain(D,X)=Ent(D)-\frac{\left | D_{<t} \right |}{\left | D \right |}Ent(D_{<t})-\frac{\left | D_{>t} \right |}{\left | D \right |}Ent(D_{>t}) \tag{5}
$$
其中得到样本 `D` 基于划分点 t 二分后的信息增益，于是我们可以选择使得 `Gain(D,X)` 值最大的划分点。
1 | """计算连续值的划分点 |
实现连续值最优划分点的函数后，寻找 height 连续特征值的划分点。
1 | final_t = get_splitpoint(data, base_ent, 'height') |
t_ent: {158.0: 0.1179805181500242, 159.5: 0.1179805181500242, 161.0: 0.2624392604045631, 162.0: 0.2624392604045631, 163.0: 0.3856047022157598, 163.5: 0.15618502398692893, 164.0: 0.3635040117533678, 165.0: 0.33712865788827096, 167.0: 0.4752766311586692, 170.0: 0.32920899348970845, 172.0: 0.5728389611412551, 172.5: 0.4248356349861979, 173.5: 0.3165383509071513, 174.5: 0.22314940393447813, 176.5: 0.14078143361499595, 179.0: 0.06696192680347068}
172.0
算法实现
在对决策树中最佳特征选择和连续值处理之后，接下来就是对决策树的构建。
数据预处理
首先我们将连续值进行处理，在找到最佳划分点之后，将 \(< t\) 的值设为 0，将 \(>= t\) 的值设为 1。
1 | def choice_1(x, t): |
选择最优划分特征
将数据进行预处理之后，接下来就是选择最优的划分特征。
1 | """选择最优划分特征 |
完成函数之后，我们首先看看数据集中信息增益值最大的特征是什么？
1 | choose_feature(deal_data) |
'height'
构建决策树
在将所有的子模块构建好之后，最后就是对核心决策树的构建，本次实验采用信息增益（ID3）的方式构建决策树。在构建的过程中，根据算法流程，我们反复遍历数据集，计算每一个特征的信息增益，通过比较将最好的特征作为父节点，根据特征的值确定分支子节点，然后重复以上操作，直到某一个分支全部属于同一类别，或者遍历完所有的数据特征，当遍历到最后一个特征时，若分支数据依然“不纯”，就将其中数量较多的类别作为子节点。
因此最好采用递归的方式来构建决策树。
1 | """构建决策树 |
完成创建决策树函数后，接下来对我们第一棵树进行创建。
1 | tree = create_tree(deal_data) |
{'height': {'<172.0': {'ear_stud': {'no': {'voice': {'thick': array(['man'], dtype=object),
'medium': array(['man'], dtype=object),
'thin': array(['woman'], dtype=object)}},
'yes': array(['woman'], dtype=object)}},
'>172.0': array(['man'], dtype=object)}}
通过字典的方式表示构建好的树，可以通过图像的方式更加直观的了解。
通过图形可以看出，在构建决策树时不一定每一个特征都会成为树的节点（如同 hair）。
决策分类
在构建好决策树之后，最终就可以使用未知样本进行预测分类。
1 | """决策分类 |
在分类函数完成之后，接下来我们尝试对未知数据进行分类。
1 | test = pd.DataFrame({"hair": ["long"], "voice": ["thin"], "height": [163], "ear_stud": ["yes"]}) |
对连续值进行预处理。
1 | test["height"] = pd.Series(map(lambda x: choice_1(int(x), final_t), test["height"])) |
分类预测。
1 | classify(tree,test) |
array(['woman'], dtype=object)
一个身高 163 厘米，长发，带着耳钉且声音纤细的人，在我们构建的决策树判断后预测为一名女性。
上面的实验中，我们没有考虑 =划分点 的情况，你可以自行尝试将 >=划分点 或 <=划分点 归为一类，看看结果又有哪些不同？
预剪枝和后剪枝
在决策树的构建过程中，特别在数据特征非常多时，为了尽可能正确的划分每一个训练样本，结点的划分就会不停的重复，则一棵决策树的分支就非常多。对于训练集而言，拟合出来的模型是非常完美的。但是，这种完美就使得整体模型的复杂度变高，同时对其他数据集的预测能力下降，也就是我们常说的过拟合使得模型的泛化能力变弱。为了避免过拟合问题的出现，在决策树中最常见的两种方法就是预剪枝和后剪枝。
预剪枝
预剪枝，顾名思义预先减去枝叶，在构建决策树模型的时候，每一次对数据划分之前进行估计，如果当前节点的划分不能带来决策树泛化的提升，则停止划分并将当前节点标记为叶节点。例如前面构造的决策树，按照决策树的构建原则，通过 height 特征进行划分后 <172 分支中又按照 ear_stud 特征值进行继续划分。如果应用预剪枝，则当通过 height 进行特征划分之后，对 <172 分支是否进行 ear_stud 特征进行划分时计算划分前后的准确度，如果划分后的更高则按照 ear_stud 继续划分，如果更低则停止划分。
后剪枝
跟预剪枝在构建决策树的过程中判断是否继续特征划分所不同的是，后剪枝在决策树构建好之后对树进行修剪。如果说预剪枝是自顶向下的修剪，那么后剪枝就是自底向上进行修剪。后剪枝将最后的分支节点替换为叶节点，判断是否带来决策树泛化的提升，是则进行修剪，并将该分支节点替换为叶节点，否则不进行修剪。例如在前面构建好决策树之后，>172分支的 voice 特征，将其替换为叶节点如（man），计算替换前后划分准确度，如果替换后准确度更高则进行修剪（用叶节点替换分支节点），否则不修剪。
预测分类
在前面我们使用 python 将决策树的特征选择，连续值处理和预测分类做了详细的讲解。接下来我们应用决策树模型对真实的数据进行分类预测。
导入数据
本次应用到的数据为学生成绩数据集 course-13-student.csv，一共有 395 条数据，26 个特征。
数据集下载 👉 传送门
1 | """导入数据集并预览 |
由于特征过多，我们选择部分特征作为决策树模型的分类特征,分别为：
school：学生所读学校(GP，MS)sex: 性别(F：女，M：男)address: 家庭住址(U：城市，R：郊区)Pstatus: 父母状态(A：同居，T：分居)Pedu: 父母学历由低到高reason: 选择这所学校的原因(home：家庭,course：课程设计，reputation：学校地位，other：其他)guardian: 监护人(mother：母亲，father：父亲，other：其他)studytime: 周末学习时长schoolsup: 额外教育支持(yes：有，no：没有)famsup: 家庭教育支持(yes：有，no：没有)paid: 是否上补习班(yes：是，no：否)higher: 是否想受更好的教育(yes：是，no：否)internet: 是否家里联网(yes：是，no：否)G1: 一阶段测试成绩G2: 二阶段测试成绩G3: 最终成绩
1 | new_data = stu_grade.iloc[:, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 24, 25, 26]] |
数据预处理
首先我们将成绩 G1，G2，G3 根据分数进行等级划分，将 0-4 划分为 bad，5-9 划分为 medium ，
1 | def choice_2(x): |
同样我们对 Pedu （父母教育程度）也进行划分
1 | def choice_3(x): |
在等级划分之后，为遵循 scikit-learn 函数的输入规范，需要将数据特征进行替换。
1 | """特征值替换 |
将特征值进行替换后展示。
1 | stu_data = replace_feature(stu_data) |
数据划分
加载好预处理的数据集之后，为了实现决策树算法，同样我们需要将数据集分为 训练集和测试集，依照经验：训练集占比为 70%，测试集占 30%。
同样在此我们使用 scikit-learn 模块的 train_test_split 函数完成数据集切分。1
2
3from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train,x_test, y_train, y_test =train_test_split(train_data,train_target,test_size=0.4, random_state=0)
其中：
x_train,x_test,y_train,y_test分别表示，切分后的 特征的训练集，特征的测试集，标签的训练集，标签的测试集；其中特征和标签的值是一一对应的。train_data,train_target分别表示为待划分的特征集和待划分的标签集。test_size：测试样本所占比例。random_state：随机数种子,在需要重复实验时，保证在随机数种子一样时能得到一组一样的随机数。
1 | from sklearn.model_selection import train_test_split |
决策树构建
在划分好数据集之后，接下来就是进行预测。在前面的实验中我们采用 python 对决策树算法进行实现，下面我们通过 scikit-learn 来对其进行实现。 scikit-learn 决策树类及常用参数如下：
1 | DecisionTreeClassifier(criterion=’gini’，random_state=None) |
其中：
criterion表示特征划分方法选择，默认为gini(在后面会讲到)，可选择为entropy(信息增益)。ramdom_state表示随机数种子，当特征特别多时scikit-learn为了提高效率，随机选取部分特征来进行特征选择，即找到所有特征中较优的特征。
常用方法:
fit(x,y)训练决策树。predict(X)对数据集进行预测返回预测结果。
1 | from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier |
DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='entropy', max_depth=None,
max_features=None, max_leaf_nodes=None,
min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False, random_state=34,
splitter='best')
决策树可视化
在构建好决策树之后，我们需要对创建好的决策树进行可视化展示，引入 export_graphviz 进行画图。由于环境中没有函数需要进行安装。
1 | # Linux |
下面开始生成决策树图像，其中生成决策树较大需要拖动滑动条进行查看。
1 | from sklearn.tree import export_graphviz |
模型预测
1 | y_predict = dt_model.predict(x_test) # 使用模型对测试集进行预测 |
array([3, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 2, 3, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 2, 0,
3, 2, 2, 0, 3, 3, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 2, 2,
0, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 0, 3, 0, 2, 2, 2, 1, 3, 0, 2, 2, 2, 2,
3, 3, 2, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 3, 0, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0,
0, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 0, 0, 2,
0, 2, 0, 3, 2, 2, 2, 3, 2], dtype=int64)
分类准确率计算
当我们训练好模型并进行分类预测之后，可以通过比对预测结果和真实结果得到预测的准确率。
$$
accur=\frac{\sum_{i=1}^{N}I(\bar{y_{i}}=y_{i})}{N} \tag{6}
$$
公式(6)中 `N` 表示数据总条数，\(\bar{y_{i}}\) 表示第 `i` 条数据的种类预测值，`y_{i}` 表示第 `i` 条数据的种类真实值，`I` 同样是指示函数，表示 \(\bar{y_{i}}\) 和 `y_{i}` 相同的个数。
1 | """准确率计算 |
0.6974789915966386
CART 决策树
分类与回归树（classification and regression tree, CART）同样也是应用广泛的决策树学习算法，CART 算法是按照特征划分，由树的生成和树的剪枝构成，既可以进行分类又可以用于回归，按照作用将其分为决策树和回归树，由于本实验设计为决策树的概念，所以回归树的部分有兴趣的同学可以自己查找相关资料进一步学习。
CART决策树的构建和常见的 ID3 和 C4.5 算法的流程相似，但在特征划分选择上CART选择了 基尼指数 作为划分标准。数据集 `D` 的纯度可用基尼值来度量：
$$
Gini(D) = \sum_{y=1}^{\left|y \right|}\sum_{k’\neq k}^{}p_{k}p_{k}’\tag{7}
$$
基尼指数表示随机抽取两个样本，两个样本类别不一致的概率，基尼指数越小则数据集的纯度越高。同样对于每一个特征值的基尼指数计算，其和 ID3 、 C4.5 相似，定义为：
$$
GiniValue(D,a)=\sum_{m=1}^{M}\frac{\left |D^{m} \right |}{\left |D \right |}Gini(D^{m}) \tag{8}
$$
在进行特征划分的时候，选择特征中基尼值最小的作为最优特征划分点。
实际上，在应用过程中，更多的会使用 基尼指数 对特征划分点进行决策，最重要的原因是计算复杂度相较于 ID3 和 C4.5 小很多（没有对数运算）。
拓展阅读：
